ANTROPOSMODERNO
Cantor, la libertad
Gabriel Lombardi

Inspirado en Jacques Lacan y en Colette Soler, el título de este texto ubica - en aposición al nombre - el rasgo que tuvieron en común las vidas, tan distintas, de Georg Cantor

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Georg Cantor nació en San Petersburgo en 1845, probó en Alemania algunos teoremas decisivos de la historia de la matemática, introdujo la teoría de los conjuntos y números transfinitos, desató con ello la crisis más profunda y fructífera en esa disciplina científica, desarrolló también algunas elaboraciones filosóficas y teológicas en defensa de sus teorías. A partir de 1884 sufrió varias internaciones psiquiátricas, en sus delirios intentó demostrar que Francis Bacon fue autor de algunas obras de Shakespeare, en su locura exhibió una desinhibición pulsional sorprendente, murió en Halle en 1918. Esta apretada biografía bastaría para ilustrar la alternancia, no infrecuente en la vida de un hombre de genio, de la ciencia y la locura.
Parece natural que un psicoanalista se interese sobre todo en esta última, y que ponga el acento en Cantor el caso clínico. Curiosamente no fue eso lo que retuvo la atención de Lacan, quien lo cita frecuentemente en sus Seminarios, pero no para hablar de su enfermedad ni de sus avatares biográficos, sino de lo que Cantor introdujo en el discurso de la matemática. Más que en sus síntomas, se interesó en sus actos, y en las consecuencias de sus actos – y en particular del acto humano por excelencia, el acto de decir, la enunciación como acto -. En su texto L’étourdit, Lacan rindió homenaje al “decir de Cantor”, expresión que figura tres veces en ese texto. Vehemente y sólo sostenible desde una posición subjetiva extrema, el decir de Cantor inaugura la ciencia del siglo XX, haciendo posible que otros matemáticos avancen hasta la invención de la matriz lógica de la computadora.
No es función de la ciencia recordar al sujeto que soportó una invención, ni las condiciones de enunciación que incluyen su vida y sus lazos con los matemáticos de la época. El psicoanálisis en cambio se interesa en esas condiciones, para devolver al acto sus consecuencias, enormes sobre las matemáticas y sobre la civilización. Y también sobre el sujeto: como veremos, el decir tuvo en Cantor la particularidad de exigirle llegar hasta los límites últimos de la alienación en el sentido lacaniano del término, sin que eso facilitara en nada para él la segunda fase de la constitución del sujeto: la separación.
Inspirado en Jacques Lacan y en Colette Soler, el título de este texto ubica - en aposición al nombre - el rasgo que tuvieron en común las vidas, tan distintas, de Georg Cantor. Más que la convicción y la energía que desplegó en cada una de ellas, es la libertad lo que da el rasgo común a su decir como matemático, a la fundamentación filosófica personal de sus teorías, a sus delirios y a su locura.
Cantor fue matemático y fue loco, pero no al mismo tiempo. Sin pretender reducir en nada el abismo que separa esas fases dispares e irreductibles una a otra, este texto se propone interrogar cómo se juega en ellas esa facultad paradójica, la libertad, que Cantor sostuvo hasta la muerte como su bien más preciado. Para comenzar, recordemos a grandes rasgos el modo en que Cantor libera a la matemática de sus ataduras tradicionales.


Breve historia del infinito

En su Física, Aristóteles explica que la noción de infinito es contradictoria en sí misma: “No es como se dice, algo fuera de lo cual no hay nada, sino algo fuera de lo cual siempre hay algo”. Advirtió así que el infinito no admite ningún “todo”. Lo juzgó entonces una noción absurda, que no debe ser admitida por el científico más que en un sentido restringido: sólo hay infinitos en potencia, que existen por composición en las magnitudes muy grandes o por división en las muy pequeñas, pero es absurdo pensar que pueda existir en acto un “cuerpo” {soma} sensible infinito. Consideró que ni siquiera los matemáticos tienen necesidad de admitir la existencia de cuerpos infinitos, pues su disciplina solamente requiere magnitudes tan grandes como se quiera, pero limitadas.
Durante más de 2000 años, los matemáticos se atuvieron, en cuanto al infinito, a la conducta recomendada por Aristóteles. Sin embargo, ya en 1638 Galileo había señalado que algo muy curioso ocurre con los conjuntos infinitos de números. Notó que si escribimos la lista de los naturales: 1, 2, 3, 4, ..., podemos suponer que tal lista que no tiene un último término, no tiene fin, decimos que es al menos potencialmente infinita. Si debajo de esa lista hacemos otra, de modo que el cuadrado de cada uno de los términos de la primera quede justo debajo de él, tendremos: 1, 4, 9, 16, ... Es muy fácil ver que estamos haciendo una correspondencia uno a uno de cada miembro de la primera lista con cada miembro de la segunda. Esto permitió a Galileo deducir que debe existir la misma cantidad de números en ambas listas, porque existe una correspondencia uno a uno entre sus miembros, es decir que cada miembro de una lista puede ser unido por una flecha doble con cada miembro de la otra. Inmediatamente aparece la siguiente paradoja: por un lado ambas listas tienen la misma cantidad de números, y por otro no, ya que cada número que aparece en la lista de los cuadrados – que son también números naturales - tiene que figurar en la primera lista, la de todos los naturales, pero además la primera lista contiene otros números como el 3 ó el 5 que no son cuadrados, y por lo tanto la primera lista tiene más números que la segunda. La primera tiene la misma cantidad de números que la segunda lista, y al mismo tiempo tiene una cantidad mayor. He allí la paradoja. Galileo pone en boca de Salviati esta conclusión:
“No veo que otra cosa haya que decir si no es que infinitos son todos los números, infinitos los cuadrados, infinitas sus raíces; y la multitud de los cuadrados no es menor que la de todos lo números, ni ésta mayor que aquélla; y finalmente, los atributos de mayor, menor e igual no se aplican a los infinitos, sino sólo a las cantidades terminadas [esto es, finitas]”.

Galileo se atuvo sin embargo a la imperativa prudencia de Aristóteles. El hombre que inició la matematización de la física, que permitió transformar el mundo cerrado del medioevo en el universo infinito de la época moderna, no puso en cuestión los límites establecidos para la matemática misma. El infinito en juego, tanto para él como para Newton, es ese infinito potencial al que Aquiles y la tortuga aspiran desde hace muchos siglos, pero al que nunca llegarán “en su doble y desesperada persecución de la inmovilidad y del éxtasis”, según dijo bellamente Borges. Temieron que el infinito tomado en acto, integrado al pensamiento, estalle y lo mate.
Doscientos cincuenta años después que Galileo, Georg Cantor volvió sobre las listas infinitas de números. Argumentó que las cantidades infinitas no necesariamente deberían responder a las mismas leyes que las finitas, y que sus leyes específicas podían ser establecidas. En lugar de descartarlas como absurdas, las hizo ingresar en el discurso de la matemática. La propiedad que Galileo había considerado paradójica era, en verdad, una propiedad “natural” de los conjuntos infinitos.
Ahora bien, para dar ese otro paso, la matematización del infinito, era el lenguaje mismo lo que debía explorarse. Había que enfrentar los problemas que surgen con la cuantificación universal cuando es aplicada a ciertas expresiones que también están en el lenguaje, pero que exceden la lógica del “todo”. Si pretendía tratar la contradicción interna del infinito, la matemática no podía (y como veremos, no debía) apelar esta vez a la física, ya que era completamente inoperante concebir un cuerpo infinito en acto. Aristóteles había demostrado que tal cuerpo es imposible, porque debería estar en algún lugar, que sería su límite, y por lo tanto no sería ya infinito.
Había que inventar entonces una nueva lógica, con un lenguaje limitado, manejable, pero suficientemente potente como para expresar los conjuntos infinitos. Tal es la función de la teoría de los conjuntos que introduce Cantor, capaz de alojar en el lenguaje conjuntos más grandes aún que “todo”, mediante combinaciones de una cantidad limitada de signos.


El hotel de Hilbert

Recapitulando la obra de Cantor, es fácil encontrar una decena de ideas mayores. De ellas se ha escrito que son “tan brillantes y originales, tan simples, elegantes y poderosas, que cualquiera de ellas hubiera sido suficiente para coronar la carrera de un gran matemático.” Algunas de esas ideas son:
- las cantidades infinitas no son absurdas o imposibles, sino números que requieren un álgebra nueva para entregar sus secretos;
- la propiedad de tener partes que son igual que el todo es la propiedad determinante de los números infinitos;
- se dice que dos conjuntos de objetos tienen el mismo número de elementos si sus elementos pueden ser puestos en una correspondencia uno-a-uno;
- los números racionales son enumerables (contables), ya que de un modo sencillo se pueden poner en una relación uno-a-uno con los enteros positivos, a pesar de que parecen ser muchos más;
- los números reales (racionales más irracionales) no son enumerables.
La lista de ideas novedosas de Cantor no se detuvo allí. Con igual desenvoltura demostró que los elementos de un conjunto son menos que los subconjuntos de dicho conjunto. De lo cual rápidamente dedujo la siguiente consecuencia: el conjunto de subconjuntos es un principio generador, para cualquier conjunto dado, de conjuntos mayores. (¡Incluso si se tratara del conjunto de todos los conjuntos!)
La ganancia que trajo la ampliación del campo de la matemática a los conjuntos infinitamente grandes, puede ser ilustrada con las libertades que podría tomarse el propietario de un hotel tal como lo concibió David Hilbert, uno de los primeros matemáticos en aprovechar la teoría de los conjuntos:
Imaginemos un hotel con un número finito de habitaciones, y supongamos que todas las habitaciones están ocupadas. Llega un nuevo huésped y pide una habitación. “Lo siento, dice el propietario, pero todas las habitaciones están ocupadas”. Imaginemos ahora un hotel con un número infinito de habitaciones, todas ellas ocupadas. También a este hotel llega un nuevo huésped y pide una habitación. “¡Por supuesto!”, exclama el dueño, y traslada a la persona que previamente ocupaba la habitación 1 a la habitación 2, la de la habitación 2 a la 3, la persona de la habitación 3 a la 4, y así sucesivamente... Y el nuevo cliente recibe la habitación 1, que ha quedado libre como resultado de estas mudanzas. Imaginemos ahora un hotel con un número infinito de habitaciones, todas ocupadas, y un número infinito de nuevos huéspedes que llegan y piden habitación. “¡Seguro, señores –dice el dueño-, esperen sólo un minuto!”. Traslada entonces el ocupante de la habitación 1 a la 2, el ocupante de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, y así sucesivamente. Ahora, todas las habitaciones con números impares han quedado libres, y los infinitos nuevos huéspedes pueden fácilmente ser alojadas en ellas.

Ese hotel sólo podría construirse en el “paraíso creado por Cantor” –así lo llamó Hilbert - donde el conjunto infinito de los enteros positivos tiene la misma cantidad de elementos (y no la mitad) que el de los números pares.
Las teorías de Cantor, aun si se basaban en el razonamiento matemático, iban en contra de las bases intuitivas proporcionadas por la física o la geometría; por eso mismo estaban destinadas a encontrar una oposición activa entre los matemáticos de su época. Algunos de ellos reaccionaron con encono, como Kronecker su antiguo maestro, de quien Cantor hizo un enemigo, casi un perseguidor, al que dedicaba buena parte de sus desvelos y de sus nuevos descubrimientos.
Sin embargo Kronecker sólo le devolvía en los años ’80, un poco enfáticamente es verdad, la crítica que antes el propio Cantor hiciera a otros matemáticos como Du Bois-Reymond: que construían números de papel, entidades inexistentes. Los verdaderos números, sostenía Kronecker, son los que pueden construirse a partir de los números “naturales” 0, 1, 2, 3 ... Pero veremos que la matemática cantoriana, liberada de las ataduras de la física, rápidamente estaría sin embargo en condiciones de encontrar nuevas formas de lo real, bajo la forma de lo imposible. Pero los obstáculos, la oposición de lo real a la libertad que Cantor proponía, no estarían ya adonde el representante de la tradición los señalaba.
A decir verdad, el mismo Cantor no podía saber exactamente adónde se encontrarían las nuevas formas de imposibilidad que surgirían de su teoría a medida que pudiese ser formulada más precisamente, cuando fuera axiomatizada sucesivamente, de un modo cada vez más riguroso, por Zermelo, Von Neumann y Gödel. Podemos ya anunciar aquí sin embargo lo que mostraremos en otro capítulo: que es sobre la base de los nuevos imposibles, generados por el decir de Cantor, que surgirán los lenguajes de programación y las redes numéricas en que se sustenta Internet.
Ahora bien, asentar el discurso de la matemática en una teoría que lo liberara de las limitaciones impuestas por otros discursos, no pudo hacerse sin un costo subjetivo. Y de hecho fue solo después de su primer momento de psicosis clínica e internación en 1884, que Cantor se atrevió a dar algunos pasos decisivos en el camino de esa rápida liberación de los “fantasmas” de la física y de la geometría. No fue sin su síntoma que pudo ir más allá del paradigma geométrico que durante años retuvo sus concepciones del número sujetas a la topología de la recta.
Así, es recién en 1891 que la existencia de los conjuntos infinitos no enumerables es demostrada siguiendo el ahora famoso método diagonal, que ya no reposa sobre la idea del continuo en la recta infinita, sino en la escritura decimal de los números reales, es decir, en una pura sintaxis que prescinde de toda referencia exterior a sus propias reglas. Y que sin embargo no acarreará al hombre una confrontación menor con lo imposible. ¡Al contrario! Como veremos, Cantor es el padre de Gödel. Paradojas de la libertad de un ser atado al símbolo.
En el mismo sentido podrían mencionarse las denominaciones de los números transfinitos cardinales y ordinales, y la admisión de conjuntos inconsistentes.


El decir de Cantor, según Lacan y Gödel

Como ya lo he dicho, a diferencia de otros psicoanalistas, Lacan no puso el acento en la psicosis de Cantor; y menos aún en los “fantasmas” que le habrían impedido ver lo que todavía no había sido descubierto. En esto era sensato: es muy fácil señalar hoy lo que Cantor no vio cuando todavía nadie lo había visto, para afirmar luego que eso probaría no sé qué fijación fantasmática. ¿O acaso deberíamos suponer ya escrito en nuestro inconsciente el saber que la ciencia encontrará en los próximos 100 años? Como suposición, lo menos que puede decirse es que es innecesaria, y Lacan la critica explícitamente en su texto La méprise du sujet supposé savoir. Mucho más interesante resulta estudiar las consecuencias de lo que la enunciación de Cantor abrió en el discurso de la matemática, aún si esas consecuencias no podían ser completamente advertidas por el propio Cantor (y eso por la estructura misma de todo acto). Es en esta dirección que Lacan menciona “el decir de Cantor”. Leemos en L’étourdit:
Lo que se profiere en el decir de Cantor, es que la serie de los números no representa ninguna otra cosa en el transfinito que la inaccesibilidad que comienza en dos {deux}, por lo cual de ellos {d’eux} se constituye lo enumerable al infinito.

Esta afirmación se basa en un texto de Gödel de 1947, titulado ¿Qué es el problema del continuo de Cantor? Allí Gödel desarrolla la pregunta: ¿cuál es el número de puntos de una línea recta? Para Cantor existen al menos dos clases de conjuntos infinitos, los enumerables y los no enumerables. Tras haber probado que el número de puntos de la recta es mayor que el de los conjuntos finitos enumerables, y que hay diferentes conjuntos no enumerables, Cantor hace la siguiente hipótesis: la cantidad de puntos del continuo de una recta tiene una cota superior, dada por el menor conjunto infinito no enumerable. Esa es su conjetura del continuo, que nunca pudo ser probada ni refutada hasta 1966, año en que Paul Cohen mostró que tanto esa conjetura como su negación son compatibles con las formas axiomatizadas de la teoría de los conjuntos. Es decir que la hipótesis del continuo de Cantor puede ser añadida como axioma independiente al armazón de la teoría de los conjuntos transfinitos.
De paso, en ese artículo Gödel da una definición rigurosa de lo que significa que el número de elementos de un conjunto sea inaccesible desde un punto de vista cantoriano. “Es inaccesible” quiere decir: tal número no puede ser construido por suma o producto de conjuntos con menor número de elementos. Gödel encuentra que no sólo los números transfinitos son inaccesibles, sino que hay ya un conjunto finito que es inaccesible: ¡el 2! El 2 es inaccesible desde un conjunto con un elemento, porque para llegar a él se necesitaría de la suma de 2 elementos, ¡es decir que sólo teniéndolo de antemano puede ser construido! Notemos que no pasa lo mismo con el 3.
Kronecker tenía entonces razón, los transfinitos son inaccesibles y contrarios a la intuición natural, sólo que la razón que Kronecker tenía iba a caducar, como efecto del decir de Cantor. Pero además, la nueva razón mostraría que el número 2 no es tan “natural” como parece. Lo cual es un saber útil para el psicoanalista, que puede entender ahora un poco mejor la dificultad que encuentra la gente para contar hasta dos - especialmente en la cama, ese riguroso distrito, donde se necesita teorizar al tercero para situarse “en relación” con el segundo -. Esa dificultad se funda en una propiedad de la estructura del lenguaje, imposible de reconocer hasta que Lacan añade al inconsciente freudiano las consecuencias del decir de Cantor – entre las cuales deben contarse los enunciados de Gödel -.
¿Y cómo es que, siendo tales números inaccesibles, el lenguaje nos permite plantear su existencia? Ayudado por el saber de lalengua francesa, en el párrafo citado Lacan ensaya una respuesta, sobre la que vuelve dos y muchas veces: es porque el uno del lenguaje es equívoco que de ellos (d’eux) puede hacerse dos (deux). También intentará esta otra, apoyándose en la reelaboración cantoriana que hace Frege de la aritmética: dado que el nombre del primer elemento es equívoco (¿el conjunto vacío es un cero o es un uno?), se puede establecer que cero y uno hacen dos. “A partir de lo cual Cantor pone en cuestión toda la serie de los números enteros y remite lo enumerable al primer transfinito, el primer Uno distinto {Un autre} que retoma lo que zanja del primero: que de hecho lo corta en dos.”
Es gracias a la ambigüedad del uno del lenguaje que se puede contar, y que se puede existir, incluso ex-sistir como sujeto de la enunciación cuya representación el uno equívoco puede tomar sobre sí. La teoría de los conjuntos hace entrar ese Uno equívoco del lenguaje en el discurso de la matemática, mediante el artilugio del conjunto vacío a partir de lo cual todo puede construirse, y más también. Allí ubicará Lacan su definición del sujeto: es lo que un significante, en su ambigüedad, representa para otro significante.
El decir de Cantor introduce en la ciencia nada menos que el efecto de sujeto del lenguaje, efecto divisorio, en el dominio en que menos se lo esperaba: el del número. Eso será rápidamente detectado por los matemáticos bajo la forma de las paradojas de la teoría de los conjuntos, que llevarán a una revisión radical de los fundamentos lógicos del discurso de la matemática (supuestos hasta ese momento un dominio de certeza y de saber asegurados). La teoría de los conjuntos no es estéril, diría uno de sus críticos más agudos, porque ella engendra la paradoja. Pero no sólo engendraría paradojas. Esa teoría, que permite alojar números inaccesibles sólo acotados por el rigor de una sintaxis, esa teoría de matemática pura que nace sin aplicaciones físicas ni geométricas, resulta que hoy se aplica. La informática y la nueva tecnología del software derivan de allí.
Además, la matemática pura de Georg Cantor no sólo se aplica hoy en el discurso de la ciencia o de la tecnología. Con Lacan, también encuentra aplicación en el discurso psicoanalítico. Entre las indicaciones que éste da al respecto, hay una en el corazón de su Proposición del 9 de octubre sobre el psicoanalista de la Escuela. “Es útil pensar en la aventura de un Cantor, aventura que no fue precisamente gratuita, para sugerir el orden transfinito en que el deseo del psicoanalista se sitúa.” Como en la teoría cantoriana de los números, en un análisis se trata de producir una coincidencia del decir con un no-saber, un aleph que enmarque la rigurosa cadena de los dichos; lo cual supone dar un salto afuera de la cadena, un salto que ubique al sujeto en una perspectiva nueva, desde donde la articulación de significantes se zanja {se tranche} como “solamente saber.”


Antifilosofía matemática, o la libertad de prescindir de toda metafísica

Después de años de trabajo concentrado en el discurso de la matemática, en 1883 Cantor comienza a publicar consideraciones filosóficas sobre lo que implica su manera de entender la realidad de las nociones que introduce. En ese año publica su texto Fundamentos de una teoría general de los conjuntos, donde discute la realidad de los números finitos e infinitos. A ellos puede adjudicarse una realidad trans-subjetiva o trascendente, de la que puede ocuparse la metafísica. O bien una realidad intrasubjetiva o inmanente, que es la única que verdaderamente interesa a la matemática en tanto tal, es decir en tanto “matemática libre”. El texto continúa así:
La matemática es plenamente libre en su desarrollo, y no conoce sino una única obligación: sus conceptos deben ser no contradictorios en sí mismos y sostener por otra parte con los conceptos formados anteriormente, ya presentes y asegurados, relaciones fijas, reguladas por las definiciones. En particular, para poder introducir nuevos números, solamente se requiere dar definiciones que les confieran precisión y, llegado el caso, una relación con los antiguos números tal, que se pueda distinguir a unos de otros de un modo determinado. Desde que un número satisface todas estas condiciones, puede y debe ser considerado como existente y real en la matemática.
No es necesario, yo creo, temer de estos principios ningún peligro para la ciencia. Por una parte las condiciones que digo - sin la observación de las cuales la libertad de formar números no puede ser puesta en ejercicio - son tales que sólo dejan a lo arbitrario un lugar extremadamente reducido; luego todo concepto matemático lleva en sí mismo su correctivo necesario: si es estéril o inadecuado, se manifiesta muy rápido por su poco uso, y es entonces abandonado por falta de eficacia. Por el contrario, toda restricción superflua impuesta al apetito de investigación matemática me parece implicar un peligro más grave, tanto más grave cuanto que no se puede extraer de la esencia de la ciencia nada que la justifique.

A partir de allí afirma: la esencia de la matemática reside precisamente en su libertad. No es de todos modos una libertad loca e irrestricta, porque, como leímos, sus principios “sólo dejan a lo arbitrario un lugar extremadamente reducido”. Lo notable es que finalmente estos principios que Cantor llevó hasta sus últimas consecuencias son los que tomará la ciencia a partir de él – sin decirlo -. Otro científico fascinado por la desconexión entre los símbolos matemáticos y la “realidad”, Alan Turing, avanzará en 1936 hasta la invención del software con la misma idea: Science is doubting the axioms.
Cantor introduce así el deseo de una matemática intrínsecamente rigurosa, que pueda prescindir de los lazos tradicionales con todas sus aplicaciones posibles. Por oposición a la matemática aplicada, sometida al control “metafísico” de la física y otras disciplinas que en nada pueden ya contribuir a su rigor, la matemática libre que él preconiza y ejercita tiene derecho a encontrar en sí misma su consistencia y su justificación, y a dejar que las significaciones trascendentes surjan, eventualmente, a posteriori.
Para dar el paso de la matematización del infinito, era necesaria esa posición, que implicaba tomar al lenguaje mismo, y no a ninguna otra realidad trascendente, como la materia a explorar; por ejemplo para determinar qué problemas surgen con el “todo” de la cuantificación universal cuando él se aplica a ciertas expresiones que también están en el lenguaje, las de lo infinito. En efecto, para tratar esa contradicción interna del infinito, la matemática no podía, no debía, apelar esta vez a la física.
La posición subjetiva extrema de Cantor supone el reconocimiento lúcido de la matemática como “sólo saber”; lo cual hace que la única coerción que acepte para esa disciplina es la que le impone la exigencia lógica de no contradicción. Es la única condición a que debe atenerse un elemento para ser admitido como existente. Lo que no implicaba dejar de lado lo real, sino por el contrario, afrontar lo que un discurso así generado conlleva: una confrontación con la imposibilidad lógica. La retracción de la matemática a la lógica matemática, es decir a lo que Lacan calificaría de “ciencia de lo real”, es el camino que Cantor abrió con su ejercicio matemático de la libertad.
La física y sus demás aplicaciones, para el discurso de la matemática, son fantasma. Había que abandonarlo para laicizar el infinito que el lenguaje aporta al ser hablante. Respecto de algunas ideas llamadas teológicas de Cantor, debemos decir que no son tan teológicas como pueden parecer desde una lectura ingenua. Sus consideraciones acerca de Dios anticipan por el contrario la concepción de Dios como efecto real del lenguaje, efecto del que Lacan desprendió toda suposición, para aislar en él al uno que hay. En 1908, es decir después de varias internaciones psiquiátricas, en respuesta a la crítica de Poincaré que le imputaba el sostén de un Género supremo, Cantor afirma:
Jamás he derivado ningún “Género supremo” del infinito actual. Por el contrario, he demostrado rigurosamente que no hay en absoluto “Género supremo” del infinito actual. Lo que sobrepasa todo lo finito y transfinito no es ningún “Género”; es la simple unidad en la cual todo está incluido, que incluye incluso el “Absoluto” incomprensible para el entendimiento humano. Es el “Actus purissimus” que por muchos es llamado “Dios”.

Dios, entonces, es una forma de hablar de algunos hombres. ¿De hablar de qué?, de la simple unidad, del uno que hay, para decirlo en los términos de Ou pire..., y que es acto creador porque siendo el simple elemento del lenguaje, logra hacer entrar en lo real a su criatura: el sujeto que es su efecto. Cantor no era psicoanalista lacaniano para formularlo en estos términos, no obstante llega a plantear que la realidad de lo que su discurso introduce es sólo inmanente o subjetiva.


Locura y libertad

Sin embargo, Georg Cantor no siempre se atuvo al discurso de la matemática en el ejercicio de la libertad. La practicó también en la locura. A propósito suyo, con toda discreción, Lacan habló del drama del sabio en las crisis de la ciencia. “Tiene sus víctimas de las que nada dice que su destino se inscriba en el mito del Edipo.” En 1884, por un breve período, Cantor fue internado por primera vez, en el mismo Hospital Universitario de Leipzig que unos meses después alojaría aSchreber. A partir de entonces parece dedicar más tiempo a las preocupaciones teológicas y filosóficas que a las propiamente matemáticas, a las que sin embargo retorna, produciendo aún resultados muy importantes.
Hoy es común que el hombre de ciencia que ha encontrado algo, ante lo subjetivamente insoportable de sus logros, se dedique a sostener y divulgar ideas que poco tienen que ver con la disciplina en que hizo avanzar la ciencia. Acaso sea una forma de tratar la destitución subjetiva que exige la ciencia a quien le entrega su hallazgo y su nombre. La comunidad científica respeta el estilo y las costumbres del investigador, admite que pasee por los pasillos y por el mundo con su osito de peluche gastado y sucio, y también que defienda sus pequeños delirios no muy científicos en su espacio transicional anglosajón, tolera incluso que redacte a partir de ellos algún opúsculo sobre la inteligencia artificial y la conciencia de las máquinas, y hasta que lo publique.
Cantor, sin embargo, se tomó algunas libertades menos propensas a una inscripción social que un libro de divulgación. Durante muchos años defendió, y de un modo francamente delirante, la autoría por parte de Francis Bacon de las obras de Shakespeare. A diferencia de la brillantez y exhuberancia de ideas que mostró en el discurso de la matemática, allí los argumentos que acompañaron su habitual rigor fueron escasos y más bien pobres.
Muy poco se sabe de las circunstancias que llevaron a su primera internación. Es verosímil, aunque difícil de comprobar, la tesis de Charraud según la cual el desencadenamiento no fue por la falta de reconocimiento o la oposición de la comunidad alemana de matemáticos, sino al contrario como consecuencia de un viaje a Paris donde fue recibido como un maestro por matemáticos de la talla de Poincaré, Hermitte y Picard. Cantor nunca tuvo discípulos, nunca los aceptó, se interesó siempre más en sus detractores que en sus seguidores. La posición de maestro tal vez le resultara insostenible o poco interesante.
Menos aún se conoce de las circunstancias que, a partir de 1899, lo llevaron a estar internado por períodos de varios meses, casi regularmente cada año, en alternancia con las etapas en que trabajaba en matemática y en docencia universitaria. Hay constancias de franca locura, de horrísonos ejercicios vocales, de conductas excrementicias que espantaban al psiquiatra – éste retrocedía ante la mano embadurnada que Cantor, sonriente, le tendía -.
El loco, decía Lacan, es el hombre libre, porque tiene el objeto de su lado, no busca la voz ni la hez en el Otro como inconscientemente hace el neurótico. No sueña tampoco con liberarse del Otro, porque aún encerrado en un asilo es subjetivamente libre de las ataduras o “lazos” sociales. Por lo cual Lacan no consideró a la locura como un mero déficit. Más bien “seducción del ser”, ruptura del nudo social que mantiene atados los registros simbólico e imaginario con lo real. Pensaba que la locura es una opción que no está al alcance de cualquiera, y que tampoco a quien quiere le llegan los riesgos que la bordean.
“No basta con un organismo débil – añadió -, una imaginación alterada, conflictos que superen a las fuerzas. Puede ocurrir que un cuerpo de hierro, poderosas identificaciones y facilidades del destino inscriptas en los astros, conduzcan con mayor seguridad a esa seducción del ser.”

Podemos evocar también este otro párrafo, tal vez el único que Lacan incluye dos veces en sus Escritos: “El ser del hombre no solamente no puede ser comprendido sin la locura, sino que no sería el ser del hombre si no llevara en sí a la locura como límite de su libertad.”
De su puño y letra, el padre lo convocaba en una carta al porvenir de “una estrella brillante en el horizonte de la ciencia”. Cantor, cuerpo de hierro, poderosas identificaciones sostenidas en su padre, un destino inscripto en los astros, no apoyaba sin embargo esas identificaciones en la metáfora paterna y en la represión que ésta condiciona; lo cual no necesariamente fue un déficit, y especialmente no en cuanto a su ejercicio inusitado de la libertad.
Pero por supuesto, el goce de la libertad tuvo para él un costo. Porque una vez planteadas libremente las reglas y los axiomas, atenerse al discurso constrictivo de la matemática implica la libertad de padecer como sujeto las consecuencias, ellas ya no libres, de haber establecido libremente esos axiomas y reglas de deducción. Lo que explica en parte que haya reencontrado su libertad, al principio de manera intermitente, afuera de los lazos de discurso.


Un síntoma alienante

Lo que dio el sesgo propio y la posición sintomática de Cantor, lo más singular que podemos advertir en lo que sabemos de su vida y de su obra, reside en la firmeza y la eficacia con que consiguió importar al discurso de la matemática la libertad de que pudo gozar en la locura. Si su decir es acto y tan pleno de consecuencias, es porque logró realizar en el discurso lo que otros sólo padecen fuera de él. Ahora bien, su frecuente salida del discurso de la matemática no es sin embargo un cambio de discurso, es pasaje al acto – esa ruptura del lazo social en que consiste un desencadenamiento -. No vemos en Cantor esa saludable separación que se obtiene con el cambio de discurso, ese recurso que permite a otros hombres de ciencia una existencia más cómoda, y también menos rigurosa.
¿Qué es la libertad, además de un ideal o una utopía? ¿Qué es ella desde el siglo XIX, cuando ya no se apoya en la legalidad de la esclavitud, que daba consistencia lingüística al “hombre libre”? ¿Qué queda de ella cuando ya nadie cree en la igualdad entre los hombres, cuando la fraternidad más desembozadamente que nunca se apoya en la segregación? ¿Es algo más que un sueño del neurótico, sostenido en el discurso interior casi delirante que Lacan describió tan bien en su seminario Las psicosis?
Hegel caracterizó muy bien el momento histórico que sigue al de la revolución francesa: la libertad se realiza en el Terror, donde la esencia del hombre libre se revela en la libertad de morir. Es que esta “facultad” no es idealizada solamente por error del neurótico. Es la estructura misma del sujeto, esencialmente encadenado al lenguaje, lo que hace de la libertad una instancia alienante, cuyos espejismos encuentra en una primera fase de su constitución subjetiva.
Eso resulta especialmente evidente cada vez que la “cadena” del significante se reduce al par significante. En ese nivel, cuando “somos libres”, nos encontramos ante una elección forzada. Los ejemplos que estudió Lacan, la bolsa o la vida, la libertad o la muerte, son ilustrativos. Si se plantea tal opción, sólo tenemos la libertad de una vida sin la bolsa, o la libertad de morir: división subjetiva como consecuencia de la caducidad inaugural del Otro que el significante condiciona. La fórmula lacaniana que dice: el significante representa al sujeto para otro significante, es la fórmula de la alineación, es un o bien, o bien que “en el mejor de los casos” se reduce a la posibilidad de elegir entre perder sólo uno de los términos (la bolsa) o perder ambos (la vida, ergo también la bolsa).
Es que la libertad se realiza en la eliminación del Otro, en el pasaje al acto. Hay una salida - al menos para quien una referencia metafórica al padre ha sido admitida en su inconsciente - a la que Lacan llamó separación, y que determina una segunda fase en la constitución del sujeto. Ella implica un retorno del Otro eliminado en la primera fase, al que el sujeto le hace un lugar en el nivel del deseo. Pero eso implica que en su elección ya no es tan libre, porque en ella palpita el deseo del Otro que ha alojado en la intimidad de su ser. El ser ha consentido en que el deseo del Otro intervenga en su insondable decisión.
Entonces, una cosa es la libertad, otra la separación. Son dos formas bien diferentes de ubicarse en relación con el Otro en tanto que tachado. En el primer caso, la tachadura tiene valor de eliminación. Allí se ubicó Cantor, en una línea que Lacan hace proceder del método de Descartes, que sustituyo al gran Otro, Dios, por las pequeñas letras a, b, c, ..., y que reemplazó al razonamiento fundado en la verdad revelada por Dios, por la demostración por repetición o recurrencia. Es decir lo que sería llamado principio de inducción, y que Cantor llevaría hasta lo transfinito: si un teorema vale para el caso 1, y si cuando vale para n también vale para n+1, entonces vale para todo n.
Si, tal como afirmó Cantor, en tanto disciplina de saber la esencia de la matemática es la libertad, eso no necesariamente es cómodo para el investigador. Lacan escucha que es bajo la forma de un gemido como Cantor enuncia que la gran dificultad, el gran riesgo de la matemática, es que es el lugar de la libertad. La vida de Cantor como sujeto de la matemática, se reduce a soportar la marca de la división originaria que la teoría de los conjuntos incluye desde el comienzo, como conjunto vacío. El conjunto vacío es la marca del sujeto y al mismo tiempo el elemento diseñado para arrastrar por todos los enunciados de la matemática la huella del sujeto de la enunciación, una enunciación destinada a ser desestimada por la ciencia bajo la forma de la forclusión: “pasó tu tiempo, en el dominio del número, en tanto sujeto, no cuentas”. Y esto no por mala voluntad de una comunidad científica, no por la animadversión de Kronecker, sino por necesidad del discurso en que esa ciencia se sostiene y avanza.
No debe extrañar que ese sujeto aproveche para gritar cuando, después de un tramo de desarrollo de ese discurso, se llegue al punto crítico en que el lenguaje, en sus imposibilidades, se ve obligado a confesar su existencia. Es el momento de la paradoja, el momento que sacude a ese discurso entre 1885 y 1936, donde todos los matemáticos tienen algo para decir, a favor o en contra de Cantor, poco importa, pero sobre Cantor, sea desde un discurso propiamente científico, sea epistemológico o filosófico. Lo que a la larga interesaría sería el camino por el que Gödel, Church, Post y Turing iban zanjar la cuestión: encontrando un modo efectivo de acallar nuevamente la presencia excesiva de la enunciación en los enunciados matemáticos. El software, el lenguaje preciso de la máquina automática, será el resultado. Automatic machine, precisará Turing en su artículo original, se opone a choice machine.
Hoy los matemáticos han olvidado aquella gesta de libertad, de paradojas, de necesidad de una fundación completamente nueva de su disciplina. Piensan que no es un tema interesante, que la matemática tiene cosas más útiles en que ocuparse, y no sólo por cuestiones ligadas a las exigencias del discurso en que trabajan. Sólo algunos recuerdan esa gesta, y la mantienen viva en su enunciación – por ejemplo Gregory Chaitin en sus libros y en sus conferencias en Buenos Aires, explicando a su manera cómo su teoría de la información algorítmica, con la que explora los límites de la matemática y de la informática, procede del decir de Cantor -.


Una distinción entre psicosis y locura

Con su síntoma de suplencia, la libertad, Cantor logró en sus investigaciones “atacar la cadena en su punto de intervalo”, pero eso no lo habilitó para alojar allí el deseo del Otro social al que rechazó sistemáticamente. Condensando sobre sí lo que era su síntoma y su antinomia personal, libre por necesidad (para decirlo en una contradicción en los términos), Cantor funda primero una unión de matemáticos alemanes que responda a su llamado libertario, que luego se hará mundial y funcionará bien, sobre todo cuando él no esté. Episodio histórico que ilustra hasta qué punto la vía de Cantor es la del pasaje al acto, y no la del acto de separación al que nunca accedió. Aún atacando la cadena en su punto de intervalo, no logró forjarse lo que Lacan llamó un estado civil, no “formó parte” de la comunidad de los matemáticos, sólo pudo transformarles su discurso, y colegiarlos – desde el exterior -. Antes que formar parte, antes que salir de su lugar de sujeto excepcional, eligió desligarse del Otro. Desencadenando su psicosis, resguardó su libertad.
La vida y la obra de Cantor hacen evidente que la psicosis como estructura subjetiva no sólo es compatible con la más extremada sujeción a la lógica de un discurso, sino que evidentemente la favorece. Libertad de sujeción a un discurso que volveremos a encontrar en Gödel, aunque en él será el rigor lógico, más que la libertad creativa, el rasgo subjetivo que prevalecerá. La posición subjetiva extrema que eso exige resulta a todas luces beneficiada por la estructura subjetiva de la psicosis; que entonces no necesariamente es un déficit, sino que en algunos casos facilita una libertad creativa incomparable, de una escala distinta de la que es capaz el neurótico, tan eficazmente limitado por la represión a seguir ideas y costumbres ya aceptadas.
Es frecuente el empleo de los términos psicosis y locura como equivalentes, tanto en el lenguaje especializado del psicoanálisis como en el de los legos. Si se tiene en cuenta la notable precisión lograda por Jacques Lacan en la definición de la psicosis como estructura subjetiva, una distinción entre los términos de psicosis y locura puede ser establecida. Tal distinción encontraría una aplicación inmediata en los casos como el que ahora consideramos, en que la psicosis como estructura subjetiva no impide al sujeto sostener un lazo social a menudo muy firme. Es decir que la psicosis no coincide con la locura, aún si condiciona y facilita esa “seducción del ser”: una mitad de la vida de Cantor testimonia sobre eso.
Estas coordenadas, que hacen posible distinguir entre psicosis y locura, permiten también una definición justa del autismo: un sujeto del lenguaje, que desde el comienzo ha tomado la posición - alienada, firme, petrificante - de no entrar en lazos de discurso alguno. Con lo cual se distingue claramente del psicótico en el sentido lacaniano del término, que es el sujeto que cuenta con la posibilidad estructural de retirarse del lazo social – habiendo participado de él -.
Que el analista se aparte de los prejuicios acerca del déficit en la psicosis, y sobre todo se sustraiga de los efectos de fascinación y de angustia alternados que el loco en tanto hombre libre genera en el neurótico, es la condición exigible para no retroceder ante la posibilidad de que el psicótico acepte el vínculo analítico. Para ello deberá tentarlo a retornar, de la locura posterior al desencadenamiento, a la psicosis, que no es incompatible con el lazo social. Tal vez lo inspire en ese sentido este pequeño poema dirigido a los psiquiatras que alguna vez redactó Cantor, internado, y que muy bien podría ubicarse como epígrafe del Pequeño discurso que tiempo después Lacan les dedicó:

Tenéis ojos para ver,
Dos orejas prestas a escuchar,
Dos manos para tocar y sentir,
La nariz para los olores.

No os falta una lengua
Tampoco un paladar para gustar,
Así, tenéis los cinco sentidos,
Pero estáis todos locos.

Lo que os falta es bien simple,
Es el buen sentido.
Habéis estudiado demasiado.
Y os encontráis completamente extraviados en el plano psiquiátrico.

Seamos también aquí rigurosos, Cantor no dice que el buen sentido exista. Eso es precisamente lo que falta, y no sólo al psiquiatra. Lo que sí existe, es el extravío en el plano psiquiátrico.


Referencias bibliográficas

Aristóteles. Physique. Les Belles Lettres. Paris. 1973.
Barrow, John D. (1992) La trama oculta del universo. Crítica. Barcelona. 1996. Título original del libro: Pi in the Sky.
Bell, Eric T. (1937) Men of Mathematics. Simon & Schuster. New York. 1986. Caps. XXVIII y XXIX, dedicados a Georg Cantor.
Belna, Jean-Pierre (2000). Cantor. Les Belles Lettres. Paris. 2000.
Borges, Jorge L. (1932). “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, y “Avatares de la tortuga”. Discusión. Emecé. Buenos Aires. 1974.
Borges, Jorge L. (1949). El Aleph. Emecé. Buenos Aires. 1974.
Bourbaki, Nicolás (1969) Elementos de historia de la matemática. Alianza. Madrid. 1976.
Cantor, Georg (1883) “Fondements d’une théorie générale des ensembles”. Cahiers pour l’analyse, Vol. 10. Pp. 35 – 52. Seuil. Paris. 1969.
Cantor, Georg (1895-7). Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Dover. New York. 1955.
Chaitin, Gregory (1998) The Limits of Mathematics. Springer Verlag. Singapur. 1998.
Chaitin, Gregory (1999) The Unknowable. Springer Verlag. Singapur. 1999.
Charraud, Nathalie (1994) Infini et inconscient. Anthropos. Paris. 1994.
Dantzig, Tobías (1930) El número, lenguaje de la ciencia. Sudamericana. Buenos Aires. 1971.
Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor, his Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harvard Univ. Press. London. 1979.
Dieudonné, Jean (1977) “Matemáticas vacías y matemáticas significativas”. Pensar la matemática. Tusquets. Barcelona. 1984. Pp. 197 – 193.
Gödel, Kurt (1944) “La lógica matemática de Russell”. Obras Completas. Alianza. Madrid. 1989.
Gödel, Kurt (1947) “¿Qué es el problema del continuo de Cantor”. Obras Completas. Alianza. Madrid. 1989.
Hegel, G.W.F. (1807). La phénoménologie de l’esprit. Montaigne. Paris. 1941.
Hodges, Andrew (1983). Alan Turing: The Enigma. Simon & Schuster. New York. 1983.
Kline, Morris (1980) Mathématiques: la fin de la certitude. Christian Bourgeois Ed. Paris. 1989.
Lacan, Jacques (1950). “Acerca de la causalidad psíquica”. Escritos I. Siglo XX I. Bs.As. 1985.
Lacan, Jacques (1954-55) Seminario, Vol. III. Las psicosis. Paidós. Bs. As.
Lacan, Jacques (1964) Seminario, Vol. 11: Los cuatro conceptos fundamentales del psicoanálisis. Paidós. Buenos Aires. 1986. Cap. V. Pp. 61 – 72.
Lacan, Jacques (1966) “Posición del inconsciente”. Escritos II. Siglo XXI. Buenos Aires. 1987.
Lacan, Jacques (1966-7). Seminario, Vol. 14. La lógica del fantasma. Inédito.
Lacan, Jacques (1967). “La méprise du sujet supposé savoir. Scilicet 1. Seuil. Paris. 1968.
Lacan, Jacques (1971-2). Seminario, Vol. 19. Ou pire... Inédito.
Lacan, Jacques (1972) “L’étourdit”. Scilicet, Vol. 4. Seuil. Paris. 1973.
Lacan, Jacques (1975) “… Ou pire”. Scilicet, Vol. 5. Seuil. Paris. 1975.
Laurent Cohen-Tanugi (1999) Le nouvel ordre numérique. Odile Jacob. Paris. 1999.
Lombardi, Gabriel (1999) “La mediación de lo imposible”. Revista de psicoanálisis, Vol. 1. Facultad de Psicología. UBA. Buenos Aires. 1999. Pp. 157 – 184.
Penrose, Roger (1989) The emperor’s new mind. Oxford Univ. Press. London. 1989.
Robertson, Douglas (1998) The New Renaissance. Computers and the Next Level of Civilization. Oxford Univ. Press. New York. 1998.
Sakellariou, Dimitris P. (1999). “Paranoïa et psychanalyse”. Trèfle, Vol. 1. Toulouse. 1999. Pp. 23 – 30.
Soler, Colette (1999). Seminario sobre Síntoma y creencia, en el Centro Franco-argentino de Altos Estudios. Inédito.
Thirion, Maurice (1999). Les mathématiques et le réel. Ellipses. Paris. 1999.
Toth, Imre (2000). Palimpseste. PUF. Paris. 2000.
Tymoczko, Thomas (Compilador). (1986). New directions in the philosophy of mathematics. Princeton Univ. Press. Princeton. 1998.
Turing, Alan M. (1936). “On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem”. Proc. London Math. Soc., Vol. 42. Pp. 230 – 265.



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